Вера в математику

Eliezer Yudkowsky, “Trust in Math”, public translation into Russian from English More about this translation.

Translate into another language.

Как-то я прочитал у Роберта Хайнлайна (не помню, где именно, но я думаю, что это был он), как один из персонажей сказал что-то вроде следующего: "Логика — неплохая штука, но я видел совершенное логическое доказательство того, что 2 = 1". Автора нельзя отождествлять с персонажем, однако образ последнего был вполне благонадежным и авторитетным. Я обнаружил себя обеспокоенным тем, что имел в виду Хайнлайн.

Классическое доказательство того, что 2 = 1, выглядит так. Для начала положим _x_ = _y_ = 1.

_x_ = _y_

_x_^2 = _xy_

_x_^2 – _y_^2 = _xy_ – _y_2

(_x_ + _y_)(_x_ – _y_) = y(_x_ – _y_)

_x_ + _y_ = _y_

2 = 1

Сейчас вы могли посмотреть на это доказательство, пожать плечами и сказать "Ну ладно, логика работает не всегда".

Или же, если вы ощутите, что математика за последние 30 тысяч лет заслуживала чуть больше доверия, то вы можете заподозрить, что изъян — в том, как вы применяете математику, а не в ней самой.

Вы можете предположить, что это на самом деле не было "совершенным логическим" доказательством.

Ученик, заблудившись, говорит: "Путь сбил меня"; магистр — "Я сбился с Пути".

...

Это что, вера? Считать, что математика последовательна, даже увидев доказательство обратного своими глазами? Вы хотите просто закрыть глаза не неудобное свидетельство, будучи байесианцем?

Как я отметил раньше, целесообразно провести границу между "верой" в то, что солнце встанет на востоке, именно так, как мы наблюдали последнюю сотню тысяч раз, и "верой", что завтра зеленоватый гоблин подарит вам мешок золота. Когда можно пронаблюдать, что простейшая арифметика внутренне непротиворечива в последнем десятке миллионов доказанных теорем, а вы видите доказательство противоречия, то, возможно, самое время его перепроверить.

Это не означает, что вы собираетесь игнорировать неудобные свидетельства. Это означает, что вам нужно их перепроверить. Когда вы соберетесь оценить степень уверенности в том, что 2 = 1 — это совершенно логично, вам также нужно будет учесть последние десять миллионов случаев, где простейшая арифметика подтверждена. Исходя из этих данных, вы присвоите высокую вероятность суждению о том, что если поищете ошибку, то, вероятно, найдете ее.

Но разве это не избирательная критичность (самое страшное из проклятий, присущее тем, кто изучает искажения), при которой вы более строго подходите к оценке неудобного свидетельства, чем подходящего вам?

Ага, она. Так что нужно быть осторожным, прибегая к подобной аргументации: он может привести к петле убеждений, то есть к ситуации, когда ваши окончательные убеждения в конце концов зависят от порядка, в котором вы получали свидетельства. Если подойти к вопросу с точки зрения теории принятия решений (в отличие от чистой теории вероятностей), вы должны решить, стоит ли предпринять затратные меры на поиски дополнительного свидетельства, и вы будете думать об этом, основываясь на тех данных, что у вас уже есть.

Возможно, вам следовало бы подумать: "Так, если я не заметил ошибку с первого взгляда, то в каких-то принятых мной и удобных для меня свидетельствах также могут быть ошибки. Какие еще неверные подтверждения, абсурдность которых не бросается в глаза, живут в моей голове?" Может, вам нужно строже рассмотреть следующий кусок удобных свидетельств, которые услышите, чтобы просто уравновесить положение вещей.

Слепая же вера — это если бы вы посмотрели на доказательство, пожали плечами и заключили: "Для меня этот ход рассуждений выглядит вполне достоверным, но я не беспокоюсь: я верю в математику". Это было бы отказом от обработки свидетельства.

У вас есть сомнения. Попытайтесь их разрешить: в этом смысл сомнений. В конце концов, если доказательство устоит, вам следует отказаться от простейшей арифметики. Неприемлемо примиряться с тем, что ваш разум одновременно как содержит убеждение о непротиворечивости арифметики, так и считает достоверным доказательство того, что 2 = 1.

Да, кстати, где ошибка в доказательстве? Вот простая методика, чтобы ее найти: замените _x_ и _y_ на 1, численно рассчитайте значения в левой и правой частях каждого уравнения и найдите, на каком шаге из верного равенства получается неверное. Какой бы шаг это ни был, операция на нем должна оказаться некорректной (на каких-то общих основаниях, имейте это в виду, а не потому, что просто приводит к выводу, который вам не нравится).

На это следовало бы обратить внимание Хайнлайну, будь у него чуть больше веры в алгебру.

UPD. Andrew2 сообщил, что персонажем был Джубал из романа "Чужак в чужой стране".

Чарли рассказал, что Хайнлайн делал дипломную работу в области математики в Университете Калифорнии и был неисправимым формалистом. Предполагаю, что либо Джубал не выражал позиции автора, либо фразой "совершенное логическое" Хайнлайн хотел передать "обманчиво кажущееся логическим".

[ссылка на след. пост]

Original (English): Trust in Math

Translation: © Quilfe, ivank1 .

translatedby.com crowd

Like this translation? Share it or bookmark!